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树状数组简介

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树状数组的基本用法

现在有一个数组，我们要对其元素进行$m$次修改和$n$次区间查询。

如果我们用常规数组，那么修改很方便，是$O(m)$，但是区间查询的时候是$O(nq)$，其中$q$是查询的长度；

如果我们用前缀和，那么查询很方便，是$O(n)$，但是修改很麻烦。

所以，对于这种问题，我们用树状数组，其修改和查询的复杂度均为$O(logN)$。

lowbit函数

lowbit函数就是要求给定的一个十进制数的二进制中最后的一个1所对应的十进制，比如lowbit(110) = 2，lowbit(101) = 1，lowbit(1100) = 4。

我们知道：求一个负数的补码可以先找到其对应的正数的补码的最后一个1，然后将这个1之前的数均取反，这样就得到了负数的补码。

所以我们将负数的补码和正数的补码做与运算，这样就只保留了最后一位的1，其他均是0了。

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int lowbit(int x){
    return x & (-x);
}

树状数组的思想

我们先看图：

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图中绿色的块与下标一一对应，我们设数组$v$，其中数组$v$如图所示，即表示的是部分区间的和，可以发现，这个区间的长度是$lowbit(x)$。

要这个部分区间的和干什么呢？

我们可以用它来代替前缀和。比如要求前缀和$sum(6)$，那么我们可以这样求：$sum(6) = v[6] + v[4]$，其中$4 = 6 - lowbit(6)$；在比如$sum(11) = v[11] + v[10] + v[8]$。这样，我们就得到了查询前缀和的代码：

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int getSum(int x , const vector<int> &v){
    int res = 0;
    while(x > 0){   // 树状数组的下标从1开始
        res += v[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return res;
}

可以看出，这样求前缀和是很快的。

除了代替前缀和，用$v$还有什么好处吗？

从图中可以看出，当数组中一个元素变化时，$v$所需要的修改的地方比前缀和要少。比如修改了第一个位置，那么我们需要变的地方是$v[2]、v[4]、v[8]…..$，即我们只需要修改其祖先的点的值就可以了，我们还可以发现：$2 = 1 + lowbit(1), 4 = 2 + lowbit(2), 8 = 4 + lowbit(4)$，这样，我们就可以得到更新的代码：

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void update(int x , int val , vector<int> & v){
    int n = v.size();
    while(x < n){
        v[x] += val;
        x += lowbit(x);
    }
}

可以看出，更新的复杂度小了。

完整代码

我们先输入n个数，然后进行m次查询，输入是’F’，则是查询，输入是’U’，则是修改。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;


int lowbit(int x){
    return x & (-x);
}

int getSum(int x , const vector<int> &v){
    int res = 0;
    while(x > 0){
        res += v[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return res;
}

void update(int x , int val , vector<int> &v){
    int n = v.size();
    while(x < n){
        v[x] += val;
        x += lowbit(x);
    }
}

int main()
{
    freopen("input.txt","r",stdin);
    //freopen("output.txt","w",stdout);
    int n;
    cin>>n;
    vector<int> v(n+1 , 0);
    for(int i = 1 ; i<=n ; ++i){
        int a;
        cin>>a;
        update(i , a , v);
        //for(auto i: v) cout<<i<<' ';
        //cout<<endl;
    }
    for(auto i: v) cout<<i<<' ';
    cout<<endl;
    int m;
    cin>>m;
    for(int i = 0 ; i<m ; ++i){
        char c;
        cin>>c;
        if(c == 'F'){
            int a;
            cin>>a;
            cout<<getSum(a , v)<<endl;
        }
        else {
            int a , b;
            cin>>a>>b;
            update(a , b - v[a] , v);
            for(auto i: v) cout<<i<<' ';
            cout<<endl;
        }
    }

}